らでぃっくすを底としちゃうかもしれない その3

ついに分かった。
とりあえず、おさらいしておこう:

1. 常用対数は底が 10 な log。
2. 自然対数は底が E な log(ln*1 とも)。

で、底が b な lob を log_b とすると log_b x は:

log(x) / log(b)

で求められる。
log₈ 19 を計算してみよう。

foo = Math.log(19) / Math.log(8)
bar = Math.log(19, 8)

p foo == bar
p foo - bar

printf("%0.20f\n", foo)
printf("%0.20f\n", bar)

違いが分からなかったんで、20桁まで表示してやっとわかったぜ…

false
2.22044604925031e-16
1.41597583781452862617
1.41597583781452840412

10e-16 = 10 フェムト
たったの 10 須臾くらいなんだ！
…といいたいとこだが、流石に何度も誤差ったりするんだろうか、と不安になったのでもーちょいやってみた。

21.times do |unused|
  base = rand(100) + 2
  rsv  = rand(100) + 2

  left = Math.log( rsv ) / Math.log( base )
  right = Math.log( rsv, base )

  printf( "log( %3d ) / log( %3d ) = %0.20f\n", rsv, base, left )
  printf( "log( %3d, %3d )         = %0.20f\n", rsv, base, right )
  puts "#{left - right}"
  puts
end

だいだいあってる、ってことで。

>

log(  85 ) / log(  87 ) = 0.99479235542999178143

log(  85,  87 )         = 0.99479235542999178143

0.0
log(  82 ) / log(  31 ) = 1.28326606503035800522

log(  82,  31 )         = 1.28326606503035800522

0.0
log(  57 ) / log(  38 ) = 1.11146543072911385686

log(  57,  38 )         = 1.11146543072911385686

0.0
log(  87 ) / log(  62 ) = 1.08208449301700904144

log(  87,  62 )         = 1.08208449301700904144

0.0
log(  38 ) / log(  57 ) = 0.89971309260064591395

log(  38,  57 )         = 0.89971309260064591395

0.0
log(  30 ) / log(  94 ) = 0.74861912877305913927

log(  30,  94 )         = 0.74861912877305902825

1.11022302462516e-16
log(  27 ) / log(  20 ) = 1.10017737402625392917

log(  27,  20 )         = 1.10017737402625392917

0.0
log(  16 ) / log(  65 ) = 0.66419058486375137651

log(  16,  65 )         = 0.66419058486375126549

1.11022302462516e-16
log(  32 ) / log(  42 ) = 0.92724511707684442730

log(  32,  42 )         = 0.92724511707684453832

 -1.11022302462516e-16
log(  85 ) / log(  22 ) = 1.43726633442498408222

log(  85,  22 )         = 1.43726633442498408222

0.0
log(  55 ) / log(  97 ) = 0.87597516084906212885

log(  55,  97 )         = 0.87597516084906212885

0.0
log(  22 ) / log(  73 ) = 0.72044555967902657034

log(  22,  73 )         = 0.72044555967902657034

0.0
log(  79 ) / log(  52 ) = 1.10584113855566901208

log(  79,  52 )         = 1.10584113855566901208

0.0
log(  41 ) / log(  83 ) = 0.84039511634614849633

log(  41,  83 )         = 0.84039511634614860736

 -1.11022302462516e-16
log(  68 ) / log(  34 ) = 1.19656163223282252517

log(  68,  34 )         = 1.19656163223282274721

 -2.22044604925031e-16
log(  79 ) / log(  19 ) = 1.48396617602990565921

log(  79,  19 )         = 1.48396617602990565921

0.0
log(  36 ) / log(   2 ) = 5.16992500144231215131

log(  36,   2 )         = 5.16992500144231215131

0.0
log( 100 ) / log(  55 ) = 1.14918574850694366063

log( 100,  55 )         = 1.14918574850694366063

0.0
log(  58 ) / log(  80 ) = 0.92661303754229806806

log(  58,  80 )         = 0.92661303754229795704

1.11022302462516e-16
log(  17 ) / log(  89 ) = 0.63119689604646878056

log(  17,  89 )         = 0.63119689604646866954

1.11022302462516e-16
log(  33 ) / log(  45 ) = 0.91852313433688392852

log(  33,  45 )         = 0.91852313433688381750

1.11022302462516e-16

*1:math.h だと log で常用対数は log10 だった